【什么是超圆法-图】百科知识点

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超圆法是解数学物理问题的一种近似方法，是美国的W.普拉格和J.L.辛格于1947年在讨论弹性静力问题时提出的。

超圆法解数学物理问题的一种近似方法，是美国的W.普拉格和J.L.辛格于1947年在讨论弹性静力问题时提出的。辛格后来又把它推广应用于一般数学物理边值问题。实质上超圆法是一种函数空间方法，其特点是将泛函分析的解析概念形象化。用它能具体地给出问题精确解的上下界。超圆法属于泛函分析的范畴，在用它处理实际问题时，须解决下面三个问题：①选择什么函数或函数集合来对应于函数空间的一个点或矢量;②确定函数空间中合适的数量积的定义，并给出函数空间的度量;③定义松弛问题，即定义函数空间中的全伴矢量、余矢量和齐次相伴矢量。用超圆法解弹性静力问题时，所选择的是实线性应力空间，空间中一个点P代表弹性体内一点的应力状态σiy，用函数集合σiy定义函数空间内一点P,它可用自原点O(σiy=0)到点P的位置矢量代表。其次，用应变能的两倍定义函数空间中两个矢量的数量积。再次,令S代表满足弹性力学的平衡方程、应变协调方程和全部边界条件的精确解;S'代表仅满足平衡方程和应力边界条件的基本应力解,即全伴矢量;S''代表仅满足应变协调方程和位移边界条件的基本位移解，即余矢量; (p=1，2，…，m)代表满足自身平衡方程和零应力边界条件的标准正交齐次应力矢量; (q=1，2，…，m)代表满足应变协调方程和零位移边界条件的标准正交齐次位移矢量。这样，弹性静力问题的解矢量S的端点就在圆心为C、半径为R的超圆Г上，Г的方程为：S=C+RJ， J·J=1，式中J是满足下述正交条件的单位参数矢量(即J被限制在一个超平面上)：

而C和R由下列等式确定：

Г上的矢量S满足不等式：|S1|≤|S|≤|S2|，S1和S2分别为Г上离应力空间原点最近和最远的点的矢量,它们可由下式确定：

式中矢量G为：

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