【什么是变分方法-图】百科知识点

学习生活中有很多内容需要大家了解，为了开阔大家的知识面，下面学大教育网为大家带来【什么是变分方法-图】百科知识点，希望大家能了解好这些百科知识。

变分的研究对象

变分学的研究对象　17世纪末提出来的最速降线问题、短程线问题和等周问题是历史上著名的三大变分问题。泛函的极值是变分学的研究对象,其奠基人是L.欧拉、J.-L.拉格朗日、雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利。

为了说明变分问题的特点，可以最小旋转面问题为例。它可表述为:"通过两个固定点(x1,y1)和(x2,y2)，可作一系列曲线y=y(x)，其中每条曲线绕x轴旋转一周都可得到一个旋转面，其面积为S;试求出使面积S为最小值的那条曲线y=y(x)。"显然,面积S取决于曲线的形式y=y(x)，即由此可见，面积S是一个因变量,而函数y(x)是一个自变函数，因此，S是自变函数y(x)的函数：S=S【y(x)】。这种"函数的函数"在数学上叫泛函。所以，最小旋转面问题是一个泛函极值问题，这类问题就是变分学研究的内容。

变分原理

变分原理实际上就是以变分形式表述的物理定律，也就是说，在所有满足一定约束条件的可能物质运动状态中，真实的运动状态应使某物理量取极值或驻值。重要的变分原理举例如下：

①　费马原理　光线通过介质时，与一切可能路径相比，真实路径使传播时间最短。

②　哈密顿原理　在保守、完整的力学体系中，由初态过渡到终态的一切可能运动状态中，真实的运动状态使作用函数取驻值。这里，T和U分别为体系的动能和势能(见能)，t0和t1为相应于初态和终态的时刻。

③　最小势能原理　在弹性平衡问题中，与一切满足位移边界条件的可能位移相比，真实位移使弹性体的势能为极小值。

④　最小余能原理　在弹性平衡问题中，与一切满足平衡微分方程与外力边界条件的可能应力相比，真实应力使弹性体的余能为极小值。

欧拉方程及其与变分问题的等价性 　变分问题可以化成等价的微分方程问题。例如，在固定边界的条件下，使泛函取极值的函数满足下列微分方程：这个微分方程通常称为欧拉方程。

欧拉方程与变分问题是等价的。它是微分方程形式与变分形式物理定律等价性的数学描述，变分原理则赋予微分方程问题与变分问题等价性以丰富的具体内容。虽然物理问题可以有两种等价的提法，但在求近似解时，从求泛函的极值或驻值出发，有时比从微分方程出发更为方便。因此，变分方法日益受到重视，并成为计算力学的重要方法之一。

【什么是变分方法-图】百科知识点大家已经阅读过了，学大教育网将为大家介绍更多的百科知识，希望大家能记忆好这些内容。