比例线段和相似三角形的判定

一、比例线段

在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。记为a：b或b(a)

比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即b(a)=d(c)，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

例题：已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么?

答：这四条线段成比例

∵a=10mm=1cm

∴c(a)＝2(1)，b(d)＝6(3)＝2(1)

∴c(a)＝b(d)，即线段a、c、d、b是成比例线段。

比例中项：如果a：b=b：c，那么b就叫做a、c的比例中项。比例中项可以为负数

比例线段也存在比例中项。但线段的值只能取正值

黄金比例：

如图Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证： （这个比值 叫做AE与AB的黄金比．）

二、相似三角形

相似三角形：两个三角形形状一模一样，大小不一定相同，这两个三角形称之为相似三角形。

相似比：如果两个三角形相似，那么它们对应边的比就是相似比，而且每条对应边的比值都相等.简单的说，相似三角形的对应边成比例。

例题：在△ABC中，AB=9 ,AC=12 , BC=18 , D为AC上一点，DC= AC，在线段AB上取一点E,得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE的长为多少？

【分析】：本题中，△ADE和△ABC相似，但是没有说明对应边是哪些，因此要根据AD、AC对应成比例和AD、AB对应成比例两种情况分类讨论．

【解析】∵AC=12  ，DC= AC，  ∴DC=8

三、判定三角形相似的方法

1.在两个三角形中，有两组对应角相等，那么这两个三角形相似

例题1、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.   求证:ΔABC∽ΔEAD.   

【分析】根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．

【解析】证明：∵AD=DB，∴∠B=∠BAD．
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE．∴△ABC∽△EAD．

2.在两个三角形中，有两组对应边成比例，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似

例2、在等边△ABC中，D在BC上，E在CA上，BD=CE，AD、BE相交于F。

求证：（1）△ABD ∽△BFD  （2）△AEF ∽△ADC

【分析】：等边三角形的性质，题中重点在于由∠BAD=∠CBE而得∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C的过程，即角的转化．

解：（1）△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵AB=BC  ∠ABD=∠C      BD＝EC ∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠2，    ∠ADB=∠BDF   ∴△ABD ∽△BFD 
（2）∵∠AFE=∠2+∠3，   ∴∠AFE=∠1+∠3=60° 

∴∠AFE=∠C   ∵∠EAF=∠DAC     ∴△AEF ∽△ADC

3.在两个三角形中，有三组对应边成比例，那么这两个三角形相似

例3：已知如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，求证：△DEF∽△ABC【分析】：此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．再由相似三角形的判定定理即可得出结论．